I. — KQIVTIONS AIX VARIATIONS. Il qiielcoïKjue dVWjualions. Prencms, par exemple, un sj^lèinc de deux écpialions du premier ordre dont les seconds memhrcs sont continus et admelteni des dérivées partielles continues /!^., y_, 'j^., csl dans un certain domaine I). La m<'-lliodc de M. Picard prouve encore cpic les intégrales y = 'l{x\ j"o, yo, ^o), - = -(-y; a-.), Jo, -u), qui prennent respectivement les valeurs yo et ::o pour 37 = ^0? sont des fonctions continues de :r, Xq^ )'o? ^0 dans un autre do- maine 0, qu'on définirait comme plus haut. Pour démontrer que les fonctions •!/ et - admettent des dérivées partielles par rapport aux variables Xo, yc, -^ni nous adjoindrons aux ('quations (<S) un système de six «'quations linéaires (9) du dx Of Of , dv dx Oy Oz dx do Oo ^ Oy Oz dr, dx Oo ^ Oo ~ Oy Oz div ^ Of _^à/^ dx Oy ' Oz "" dl Oo Oo ^ 7û = Ty'''-^J-z-^ avec les conditions initiales « = — f(^n, Xoi ^0)7 ^' = ' » (\' = o, ; = — 'f{xo: Jo, -0), ri = o, !^= I j)our x = x^. D'après une remarque antérieure, la méthode de M. Picard, appliquée au système des huit équations (8) et (()), conduit à des approximations uniformément convergentes. Or, si nous prenons pour [)i-emières valeurs ap|)i'oeliées de j', ;, M, r, a", ç, y,. ^ les va- leurs y = y ,, z = Zq, « = o, V = \ ^ iv = o, ^ = o, r, = o, C = ' 1 on véidie immédiatement cfu'on a '(Ti _ ^_; lil!— , '2îi— f ^_. ^_r <^Xq ' Oy^) '' (JZ(^ '' (>.ro "'' (>_Ko '"' ''-u '''' et l'on s'assure ensuite de pro( hc en proche que ces formules sub- sistent quand on remplace I indice i par un indice (piclconcpie //. Par cons(''quenl les inli-grales du système aiixdiaire (()i, (pu [)rennent les \aleiirs initiales écrites (dus haut, représentent respec- tivement les dérivées |tartielles des foncticms 'i(.r; -Tq, J'o» -^0)1 11 ciiAPirm-: xxiii. — im'i:(. halls imimml.nt voisinks. ~{x; Xo, j)'o5 -^o) P'T' rapjjorl aux variables Xq, y^, -^o, ô'I d'b d'b \ (J.Co Ovo Oz,) (lo) ce qui démontre la- |)roj)Osilic)n énoncée. llcmarquons que (//, ç), (c, r,), (a', ^) forment trois couples d'intégrales du sjstrine linéaire ^=/;-(^,6,T:)U+yi(^,6,7:)V, correspondant respectivemenl aux valeurs initiales ( — /„, — c3o), (1,0), (0,1). On a donc « = — /o «^ — 90 <*', ç = — /o Tj — 90 !;, et, par suite, les fonctions 'l{x; Xo, .ru, ^0)? ~{^'-, ^oj yo, ~-o) vérifient l'équation aux dérivées partielles (') , '^F ., , àF ^ ^ dF C-^o c|^Ko t'-'o 460. Extension aux équations qui dépendent de paramètres. — On peut encore étendre les jiropriétés qui précèdent aux systèmes d'iMpialions dont les seconds membres renferment des |)aramètres \ariables. Considérons, par exemple, une équation du premier (') On vérifiera connue plus liaul (p. 10. note) c|ue la fonction 7.(a:; .r,,. r„ c„) = / (>{x, <:^, -) cix ■•■(1 salisfail à l'équation aux dérivées ijarlicljes ^ -h/( X,, y„ c„ ) ^ -+- 9 ( x^, y„, z,) ^ ^r)(x„ y,, z,) = o. On voit de même que les deux relations)- = 'l^ix; x„,y,.„ z„), z = ~ (.r; x^, y„, z„) peuvent aussi s'écrire .r„ == -^ ( X, ; X, y, z), z^= ~(x„; x, y, z). On a ainsi deux intégrales premières du système (S) (cf. II, n° 393).
dimanche 11 août 2019
cours d'analyse mathématique KQIVTIONS AIX VARIATIONS. Il
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