cours d'analyse mathématique KQIVTIONS AIX VARIATIONS. Il

I. — KQIVTIONS AIX VARIATIONS. Il 

qiielcoïKjue dVWjualions. Prencms, par exemple, un sj^lèinc de 
deux écpialions du premier ordre 

dont les seconds memhrcs sont continus et admelteni des dérivées 
partielles continues /!^., y_, 'j^., csl dans un certain domaine I). La 
m<'-lliodc de M. Picard prouve encore cpic les intégrales 

y = 'l{x\ j"o, yo, ^o), - = -(-y; a-.), Jo, -u), 

qui prennent respectivement les valeurs yo et ::o pour 37 = ^0? 
sont des fonctions continues de :r, Xq^ )'o? ^0 dans un autre do- 
maine 0, qu'on définirait comme plus haut. Pour démontrer que 
les fonctions •!/ et - admettent des dérivées partielles par rapport 
aux variables Xo, yc, -^ni nous adjoindrons aux ('quations (<S) un 
système de six «'quations linéaires 



(9) 



du 
dx 


Of Of , 


dv 
dx 


Oy Oz 


dx 


do Oo ^ 
Oy Oz 


dr, 
dx 


Oo ^ Oo 
~ Oy Oz 



div ^ Of _^à/^ 
dx Oy ' Oz "" 

dl Oo Oo ^ 

7û = Ty'''-^J-z-^ 



avec les conditions initiales « = — f(^n, Xoi ^0)7 ^' = ' » (\' = o, 
; = — 'f{xo: Jo, -0), ri = o, !^= I j)our x = x^. 

D'après une remarque antérieure, la méthode de M. Picard, 
appliquée au système des huit équations (8) et (()), conduit à des 
approximations uniformément convergentes. Or, si nous prenons 
pour [)i-emières valeurs ap|)i'oeliées de j', ;, M, r, a", ç, y,. ^ les va- 
leurs 

y = y ,, z = Zq, « = o, V = \ ^ iv = o, ^ = o, r, = o, C = ' 1 

on véidie immédiatement cfu'on a 

'(Ti _ ^_; lil!— , '2îi— f ^_. ^_r 

<^Xq ' Oy^) '' (JZ(^ '' (>.ro "'' (>_Ko '"' ''-u '''' 

et l'on s'assure ensuite de pro( hc en proche que ces formules sub- 
sistent quand on remplace I indice i par un indice (piclconcpie //. 
Par cons(''quenl les inli-grales du système aiixdiaire (()i, (pu 
[)rennent les \aleiirs initiales écrites (dus haut, représentent respec- 
tivement les dérivées |tartielles des foncticms 'i(.r; -Tq, J'o» -^0)1 



11 ciiAPirm-: xxiii. — im'i:(. halls imimml.nt voisinks. 

~{x; Xo, j)'o5 -^o) P'T' rapjjorl aux variables Xq, y^, -^o, 

ô'I d'b d'b 

\ (J.Co Ovo Oz,) 

(lo) 

ce qui démontre la- |)roj)Osilic)n énoncée. 

llcmarquons que (//, ç), (c, r,), (a', ^) forment trois couples 
d'intégrales du sjstrine linéaire 

^=/;-(^,6,T:)U+yi(^,6,7:)V, 

correspondant respectivemenl aux valeurs initiales ( — /„, — c3o), 
(1,0), (0,1). On a donc 

« = — /o «^ — 90 <*', ç = — /o Tj — 90 !;, 

et, par suite, les fonctions 'l{x; Xo, .ru, ^0)? ~{^'-, ^oj yo, ~-o) 
vérifient l'équation aux dérivées partielles (') 

, '^F ., , àF ^ ^ dF 

C-^o c|^Ko t'-'o 

460. Extension aux équations qui dépendent de paramètres. — 

On peut encore étendre les jiropriétés qui précèdent aux systèmes 
d'iMpialions dont les seconds membres renferment des |)aramètres 
\ariables. Considérons, par exemple, une équation du premier 



(') On vérifiera connue plus liaul (p. 10. note) c|ue la fonction 

7.(a:; .r,,. r„ c„) = / (>{x, <:^, -) cix 
■•■(1 

salisfail à l'équation aux dérivées ijarlicljes 

^ -h/( X,, y„ c„ ) ^ -+- 9 ( x^, y„, z,) ^ ^r)(x„ y,, z,) = o. 

On voit de même que les deux relations)- = 'l^ix; x„,y,.„ z„), z = ~ (.r; x^, y„, z„) 
peuvent aussi s'écrire 

.r„ == -^ ( X, ; X, y, z), z^= ~(x„; x, y, z). 

On a ainsi deux intégrales premières du système (S) (cf. II, n° 393).