I. — KQIVTIONS AIX VARIATIONS. Il
qiielcoïKjue dVWjualions. Prencms, par exemple, un sj^lèinc de
deux écpialions du premier ordre
dont les seconds memhrcs sont continus et admelteni des dérivées
partielles continues /!^., y_, 'j^., csl dans un certain domaine I). La
m<'-lliodc de M. Picard prouve encore cpic les intégrales
y = 'l{x\ j"o, yo, ^o), - = -(-y; a-.), Jo, -u),
qui prennent respectivement les valeurs yo et ::o pour 37 = ^0?
sont des fonctions continues de :r, Xq^ )'o? ^0 dans un autre do-
maine 0, qu'on définirait comme plus haut. Pour démontrer que
les fonctions •!/ et - admettent des dérivées partielles par rapport
aux variables Xo, yc, -^ni nous adjoindrons aux ('quations (<S) un
système de six «'quations linéaires
(9)
du
dx
Of Of ,
dv
dx
Oy Oz
dx
do Oo ^
Oy Oz
dr,
dx
Oo ^ Oo
~ Oy Oz
div ^ Of _^à/^
dx Oy ' Oz ""
dl Oo Oo ^
7û = Ty'''-^J-z-^
avec les conditions initiales « = — f(^n, Xoi ^0)7 ^' = ' » (\' = o,
; = — 'f{xo: Jo, -0), ri = o, !^= I j)our x = x^.
D'après une remarque antérieure, la méthode de M. Picard,
appliquée au système des huit équations (8) et (()), conduit à des
approximations uniformément convergentes. Or, si nous prenons
pour [)i-emières valeurs ap|)i'oeliées de j', ;, M, r, a", ç, y,. ^ les va-
leurs
y = y ,, z = Zq, « = o, V = \ ^ iv = o, ^ = o, r, = o, C = ' 1
on véidie immédiatement cfu'on a
'(Ti _ ^_; lil!— , '2îi— f ^_. ^_r
<^Xq ' Oy^) '' (JZ(^ '' (>.ro "'' (>_Ko '"' ''-u ''''
et l'on s'assure ensuite de pro( hc en proche que ces formules sub-
sistent quand on remplace I indice i par un indice (piclconcpie //.
Par cons(''quenl les inli-grales du système aiixdiaire (()i, (pu
[)rennent les \aleiirs initiales écrites (dus haut, représentent respec-
tivement les dérivées |tartielles des foncticms 'i(.r; -Tq, J'o» -^0)1
11 ciiAPirm-: xxiii. — im'i:(. halls imimml.nt voisinks.
~{x; Xo, j)'o5 -^o) P'T' rapjjorl aux variables Xq, y^, -^o,
ô'I d'b d'b
\ (J.Co Ovo Oz,)
(lo)
ce qui démontre la- |)roj)Osilic)n énoncée.
llcmarquons que (//, ç), (c, r,), (a', ^) forment trois couples
d'intégrales du sjstrine linéaire
^=/;-(^,6,T:)U+yi(^,6,7:)V,
correspondant respectivemenl aux valeurs initiales ( — /„, — c3o),
(1,0), (0,1). On a donc
« = — /o «^ — 90 <*', ç = — /o Tj — 90 !;,
et, par suite, les fonctions 'l{x; Xo, .ru, ^0)? ~{^'-, ^oj yo, ~-o)
vérifient l'équation aux dérivées partielles (')
, '^F ., , àF ^ ^ dF
C-^o c|^Ko t'-'o
460. Extension aux équations qui dépendent de paramètres. —
On peut encore étendre les jiropriétés qui précèdent aux systèmes
d'iMpialions dont les seconds membres renferment des |)aramètres
\ariables. Considérons, par exemple, une équation du premier
(') On vérifiera connue plus liaul (p. 10. note) c|ue la fonction
7.(a:; .r,,. r„ c„) = / (>{x, <:^, -) cix
■•■(1
salisfail à l'équation aux dérivées ijarlicljes
^ -h/( X,, y„ c„ ) ^ -+- 9 ( x^, y„, z,) ^ ^r)(x„ y,, z,) = o.
On voit de même que les deux relations)- = 'l^ix; x„,y,.„ z„), z = ~ (.r; x^, y„, z„)
peuvent aussi s'écrire
.r„ == -^ ( X, ; X, y, z), z^= ~(x„; x, y, z).
On a ainsi deux intégrales premières du système (S) (cf. II, n° 393).
dimanche 11 août 2019
cours d'analyse mathématique KQIVTIONS AIX VARIATIONS. Il
dimanche 1 novembre 2015
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lundi 13 avril 2015
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